你选得好不好，还得看别人怎么选

两个人分开接受审讯。你看不到对方，也不能商量，却必须作出一个选择：沉默，还是招供？

如果只问“哪个选择对我最好”，信息还差一半。你的结果取决于对方的选择，对方的结果也取决于你。这种相互牵连，正是博弈论开始工作的地方。它的用处不只在猜人心，还在于把规则摊开：谁先行动，能知道什么，付出什么代价，还有没有下一次？

1. 囚徒困境：各自算得清，合起来却更差

设定下面这组刑期。每格先写你的刑期，再写对方的刑期；刑期越短越好。

先分两种情况算。对方沉默，你招供可以从1年变成获释；对方招供，你招供可以从10年变成5年。无论对方怎么选，招供都让你的刑期更短。这叫占优策略。

对方也能作出同样的推理，于是两个人都招供，各判5年。偏偏两人都沉默时，各自只要1年。每个人都在给自己减刑，却一起走进了更差的格子。

这类困境由Flood和Dresher在1950年的兰德研究中提出，Tucker随后用囚徒的故事解释它。^[11] 这里的具体刑期是一组说明结构的设定；真正关键的是诱惑、合作、背叛损失等结果之间的大小关系。

2. 纳什均衡：谁也不愿单独改，未必人人满意

两人都招供之后，如果只有你改成沉默，刑期会从5年增加到10年。只有对方改，也一样。这就形成了一个纳什均衡：在其他人的策略给定时，没有人能仅靠改变自己的策略，让自己得到更好的结果。

“稳定”在这里有明确含义。它不表示公平、幸福或集体最优；两人各5年，已经把这点说明白了。若能一起改变规则、作出可信承诺，问题可能发生变化，但那已经需要新的博弈设定。

Nash在1950年证明，有限博弈允许采用混合策略时，至少存在一个均衡。混合策略指按一定概率选择行动；不能删掉这个条件，再说每个有限博弈都能找到一个确定行动的均衡，也不能据此保证真实互动必然自动收敛。^[1]

3. 猜平均数：你以为别人会想到第几层

现在换个游戏：每个人在0到100之间选一个数，最接近“所有人平均数的三分之二”的人获胜。

如果大家随意选，平均数大约是50，你可能选33。可是别人也会想到33，那么目标又变成22。再想一层，变成15；继续往下推，10、7、4……最后趋向0。

问题在于，你并不是独自在纸上解方程。你还要估计别人会推几层，以及别人认为别人会推几层。在共同知道彼此完全理性等条件下，可以推到0；实际实验里的有限思考层次和对他人的判断，则会让猜数呈现不同分布。Nagel在1995年研究了这类猜数行为。^[2]

例如，若某一轮的平均数是32.3，目标便约为21.5。它是那一轮答案分布的结果，无法据此认定“以后永远选二十几就赢”。Keynes在1936年借报纸选美竞赛说明过类似的层层预期：猜自己喜欢谁，与猜大家认为谁会受欢迎，是不同任务。

4. 最后通牒：20元为什么可能不如0元

给一名提议者100元，由他决定分给另一人多少。对方只能接受或拒绝：接受就按提议分，拒绝则两人都拿不到。

假如你分到20元，提议者拿80元，要不要接受？只按“这一次自己收到多少钱”计算，20当然大于0。可实验中，人们有时宁愿放弃收入，也拒绝认为不公平的提议。1982年的经典研究，正把这种行为带进了实验议价的讨论。^[3]

这并不等于每个人都拒绝二八分，也不等于拒绝者不会算数。公平感、对意图的判断和惩罚不公的愿望，都可能进入人的效用。若模型只留下金额，再把其他动机叫作错误，就可能漏掉真正影响选择的东西。

5. 公地：多放一只羊，谁承担草变少的代价

一片共享草场，每个牧民都能放羊。多放一只羊的收益，主要归自己；它多吃掉的草，却让所有牧民一起承担。每个人都觉得“再多一只问题不大”，草场却可能越吃越秃。

Hardin在1968年把这种结构称作“公地悲剧”。不过，悲剧不是公共资源三个字自动附带的结局。Ostrom研究的实际社群表明，人们能够制定使用边界、监测办法、分级惩罚和处理争议的规则，形成持续的治理安排。^[4]

所以，要问的不只是牧民够不够自觉，还要问：谁能进入？最多放多少？谁检查？违规怎么办？这些制度会改变每一次“多放一只”的成本与收益。草场恢复也需要生态条件和时间，不能靠随意规定一个羊数就保证发生。

6. 一报还一报：下一次，改变了这一次

如果囚徒困境只玩一次，和同一个人反复玩很多次，策略空间便很不一样。你今天占便宜，可能换来对方明天的拒绝；你今天释放善意，也可能给合作一个开头。

1980年，Axelrod组织计算机程序比赛，让策略在重复囚徒困境中相遇。第一届有14个提交程序，另加入随机策略；第二届有62个参赛程序。Rapoport提交的“一报还一报”两次取得很好的总体成绩：第一轮合作，此后重复对手上一轮的选择。^[5][6]

它先合作，受到背叛会回应，对方回到合作后又能恢复合作，规则也容易被理解。不过，比赛总成绩好，不等于每次一对一都获胜。噪声可能把误会变成连续报复；对局是否有已知终点、未来相遇的概率和对手构成，也都会改变策略表现。它是一种值得研究的机制，不能直接当成所有关系的最佳处方。

7. 鹰鸽博弈：强硬的好处，随强硬者变多而下降

设两只动物争夺价值V的资源。鹰坚持争斗，鸽遇到强硬者退让。若打斗成本C大于资源价值，满世界都是鹰未必划算。

取V=2、C=3，用最简模型计算一方的期望收益：

若群体里鹰的比例是p，鹰的期望收益为2−2.5p，鸽为1−p。两式相等时，p=2/3。鹰更少时，强硬能获得相对优势；鹰太多时，争斗成本又让它吃亏。

Maynard Smith和Price在1973年讨论动物冲突及演化稳定策略。这里的“稳定”关心一种策略或组合能否抵抗少量变异策略的入侵，与每个个体经过深思熟虑后作决定，是不同层次的解释。改变资源、成本和互动方式，稳定比例也会改变。^[7]

8. 选学校：稳定不等于人人拿到第一志愿

五个学生A到E，五所学校1到5，每校一个名额，双方都有严格的偏好顺序。先把偏好真正写出来，问题才能算。

采用学生提出申请的延迟接受算法。尚未暂录取的学生，向还没申请过的最喜欢学校申请；学校把原先暂留者与新申请者一起比较，只暂留自己最喜欢的一人，其余拒绝。

A没拿到第一志愿，D也没拿到前三志愿，但结果仍然稳定。检查的是有没有一对学生和学校，彼此都宁愿换到对方，也不愿保留现在的匹配。这样的一对称为阻挡对；这组结果没有阻挡对。偏好与逐轮计算可以复核全过程。

Gale与Shapley在1962年提出这类算法。2012年，因稳定配置理论和市场设计实践获诺贝尔经济学奖的是Roth与Shapley。稳定是一个明确的约束，不能把它翻译成所有人都最满意，或所有人的幸福之和最大。^[8]

9. 第二价格拍卖：报91，为什么只付85

四个人密封报价：A报72，B报85，C报64，D报91。最高报价者D获胜，但成交价按第二高报价算，所以付85。

这个规则有什么特别？设某件东西在你心里值80。若为了“确保赢”报100，遇到别人最高报90，你确实赢了，却要付90，净损失10。若为了压价只报60，遇到别人最高报70，本来可以用70买到、获得10收益的机会，又会从手中溜走。

在单件物品、私人估值、收益按估值减付款计算等条件下，如实报出80是一种弱占优策略。你报得更高或更低，改变的主要是自己何时赢，而不是在已经胜出时由别人报价决定的付款。Vickrey在1961年研究了这种机制。^[9]

条件仍然重要：关联估值、多个物品、预算约束和串谋等情形，需要重新分析。拍卖设计的妙处，是让规则有机会把“诚实报价”变成符合自身利益的行动，而不是仅靠劝人诚实。

10. 把人放到网格上，合作会怎样生长

再把参与者放到一张网格。每个格子只与附近格子互动，采用合作或背叛策略；一轮结束后，比较自己和邻居的总收益，再模仿其中表现最好的策略。空间结构让“我的邻居是谁”也成为规则的一部分。

背叛者挨着合作群体时，可能短期获利；可合作伙伴互相邻接，也能形成相互支持的区域。边界推进、退缩、分裂，画面像一场不断变化的棋局。Nowak与May在1992年的模型研究中展示了空间结构下复杂的合作演化。^[10]