德国坦克问题：从几个编号估计看不见的总数

战场上缴获一辆坦克，除了研究装甲和火炮，还能做一件很不起眼的事：把零件上的号码抄下来。

一个编号看似只为维修和管理服务，成批编号却可能泄露生产规模。1943年初，伦敦美国大使馆的经济战部门开始系统分析缴获德国装备的标记，从轮胎、坦克到其他军需品，试着回答“看不见的工厂到底造了多少”。Ruggles与Brodie在1947年发表了这项工作的参与者记录。^[1]

第一条线索：最大的号码，还不是最后一个

间谍报告、战俘访谈、航空照片，各自只能看见工业活动的一部分。编号提供了另一类线索：如果它们按已知规则连续使用，就能从少数被看到的产品，反推还没被看到的数量。

先把坦克换成一罐球。球从1到N连续编号，每个号恰好对应一个球；随机、不放回地摸出四个：

19、40、42、60。

罐子里至少有60个球，这是确定的下限。但摸四个就正好摸到最后一个的机会并不大，因此60通常还偏小。最大号之外，大概还有一截没有看见。

把四个号排好，数一数各个样本之前没有被摸出的号码：

这些空档合计56，平均每段14。若最大样本以后也补上一段大致相同的空档，就会得到60+14=74。

一般地，设样本数为k，最大编号为m，则已见范围内没被抽到的号码共有m−k，平均空档为(m−k)/k，于是：

总数估计 N̂ = m + (m−k)/k
            = m + m/k − 1

m=60，k=4：N̂ = 60 + 60/4 − 1 = 74

“补一段空档”给了直觉，随机抽样模型则给出严格依据。最大样本M的期望为 E[M]=k(N+1)/(k+1)，所以 (k+1)M/k−1 的平均值恰好是N。这是一个无偏估计量。^[2]

同样见到最大号60，抽4个与抽40个并不一样。看过的样本越多，最大号通常越接近终点，需要往后补的平均空间也越小。

回到坦克，首先要搞懂号码到底数的是什么。底盘、发动机、变速箱和负重轮，可以各有不同编号。一个看上去很大的82731，可能含有号段起点或工厂代码，不能直接读成第82731辆坦克。

战后的历史比较中，1942年8月有这样一组月产量数字：

327比342少15辆，约为记录值的4.4%。这一例中的优势很明显，但不表示所有月份、所有编号样本都能达到相同精度。^[3]

另一个著名案例涉及豹式坦克的负重轮。分析人员从两辆坦克的轮上模具标记研究模具数量，再结合模具能生产多少轮子的制造知识，估计1944年2月产量约270辆；德国记录为276辆。^[4]

这里特别容易跳过中间一层：轮上模具号先通向模具，再由制造过程通向整车产量。 即便手里有64个轮上标记，也不能把它们当成64辆独立抽到的坦克，把最大号码直接代入球罐公式。

2008年，网友曾用iPhone 3G编号推算约919万部的生产规模。^[5]

电子产品同样需要辨认序列号、IMEI和不同号段各代表什么；自愿提供号码的人，也未必构成随机样本。更要分开生产、出货、渠道库存和最终销售。

苹果公布的截至2008年9月27日财季数据是销售约689.2万部iPhone。它与一个时间点上的编号推算，本来就未必指向同一时间范围或同一统计量，不能因为两个数字接近或相差，就省略口径比较。^[6]

从一罐球走到一座工厂，至少要跨过几道门槛：

编号之所以会替对手“数数”，靠的不是数字里藏着魔法。它把生产流程留下的规律，变成了可以检查、计算和交叉验证的痕迹。