奥卡姆剃刀：少加假设，也要接受检验

凌晨，消息已经发出三小时，对方还没有回复。脑中开始冒出解释：对方在忙、没有看见、睡着了，或是经历了一连串复杂的事情。故事能讲得通，并不意味着其中每个新增环节都有证据。

奥卡姆剃刀通常被用来提醒：在解释能力与证据支持相近时，减少不必要的额外假设。 这个前提必须保留。假设少，方便比较和检验；是否正确，还要继续看证据。^[1]

一把十四世纪的剃刀

这条思想常与14世纪英格兰修士、哲学家奥卡姆的威廉联系起来。Pluralitas non est ponenda sine necessitate，大意是不应无必要地设定复多；“如无必要，勿增实体”也成为后来常用的概括。

它节省的不是思考，而是那些尚未得到支持、却已经被加进解释里的东西。比较需要在证据和解释能力相近的条件下进行；如果简单版本连已知事实都解释不了，就不能凭短小让它获胜。

火星倒退，怎样挑战完美的圆

一晚晚看火星，它相对恒星的位置通常沿一个方向移动，有时却会暂时“倒着走”。这是视运动的逆行，并不表示火星沿轨道突然掉头。

托勒密传统用均轮、本轮等几何安排描述行星运动。这些模型包含真实的预测与观测约束；把它们说成可以任意加圆、因此永远不会出错，过于轻率。圆的数量本身，也不是判定理论优劣的充分证据。

1609年，开普勒发表《新天文学》，以椭圆轨道、太阳位于焦点及等面积规律等关系约束运动。改变的不只是线条少了，而是模型怎样统一解释观测、又怎样接受新观测检验。^[3]

物理学中还有一句拟合大象的玩笑。Dyson在2004年的回忆中写到，Fermi曾转述von Neumann的说法：四个参数可以拟合出大象，再多一个还能让鼻子动。这是对自由参数过多的警醒；2010年甚至真有论文用四个复数参数构造了象形曲线。^[4][5]

图形可以拟合得很像，仍然未必抓住产生它的机制。下一次尚未见到的观测，才会给解释施加新的约束。

每多一环，都要问它凭什么成立

假设五个相互独立的事件，每个发生概率都是 80%，它们全部发生的概率是：

0.8 × 0.8 × 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.32768

结果约为 32.77%。一环是80%，两环64%，三环51.2%，四环40.96%，五环才降到32.77%；这串下降来自“全部条件同时成立”的假设。一条长解释需要许多环节同时成立，就需要分别说明这些环节由什么支持。

因此，不能仅凭假设数量，断言“睡着了”就是真相。更有用的做法，是先区分已经观察到的事实与自己补上的故事，再寻找能够区分不同解释的新信息。

十个点，可以被解释得过于完美

统计模型也面对类似问题。模型越灵活，通常越容易贴合已经看过的数据；其中一些灵活性却可能用于追逐噪声，无法帮助预测新观测。

下面是一组自行构造的例子：基础关系为 y=0.5+x，在十个训练点上添加固定的小幅扰动。分别拟合一条直线，以及一条恰好穿过十点的九次多项式。

九次多项式在训练点上的误差几乎为零，直线则没有穿过每一个点。但在新的输入 x=0.94 处，按基础关系生成的观测是 y=1.44，两种预测出现明显差别：

这个例子中，复杂曲线把已有数据里的扰动也拟合进去；直线反而更接近生成新观测的基础规律。这就是理解过拟合的一种方式。

例子的合成数据与预测值可以单独查看。

它并不证明直线总能胜过曲线。若真实关系具有非线性结构，过于简单的模型也会持续漏掉规律，产生欠拟合。模型选择需要同时考虑拟合情况、复杂度和新数据上的表现。^[2]

简约，也要能给出具体约束

开普勒用椭圆描述行星轨道，并用等面积规律等关系约束运动。太阳位于椭圆的一个焦点，行星的速度随轨道位置变化。这些具体关系，让模型能够与后续观测比较。^[3]

一个解释若能在每次观测以后随意追加补丁，就可能越来越难被反驳。减少无依据的自由度，能迫使解释给出更明确的承诺；一旦新证据持续偏离，也更容易发现需要修改的地方。

水星的43角秒，要求把复杂性加回来

简约也可能保不住旧理论。水星近日点存在缓慢进动，在扣除其他行星等因素后，牛顿理论仍留下每世纪约43角秒的额外偏差。

43角秒只约0.012度，肉眼很难在一圈轨道中看出，却不能因为数值小，就当它不存在。1915年，爱因斯坦的广义相对论给出了这项额外进动的解释：太阳附近时空的几何性质会影响运动。^[6]

椭圆只是近似描述轨道的重要一步；更精密的观测，会继续迫使理论增加新的结构。证据需要复杂性时，就应该把它加回来。

让每个额外假设承担责任

真实世界可能复杂。简约原则不要求为了短小，删掉已经得到支持的重要因素，也不规定文字最短的公式就是最好的模型。

比较解释时，可以依次问：两者是否解释了同一组事实；新增的假设有没有独立支持；对尚未用于调整模型的数据，是否给出了可比较的预测。

回到那条凌晨未回的消息。已经知道的事实，是暂时没有得到回复；对方生气、厌倦、另有隐情，还是睡着，都还只是解释。先给熟悉的日常情形留出可能，再等能区分它们的新信息，比把整条猜想链当成事实，更容易让人安稳地结束这一夜。

若早晨收到一句“昨晚睡着了，早安”，这个例子就有了新的证据。若后续信息指向另一种情况，也应更新判断。剃刀帮人少添无依据的剧情，最终仍由事实决定保留哪一段解释。