有 100 个选项，依次出现，只能选择一次。看得太少，可能过早接受一个普通选项；看得太多，最好的又可能已经被放走。
在一组明确条件下，数学给出的办法是：先让大约 37% 的选项经过，用它们建立标尺，再选择后面第一个超过既有标尺的选项。这就是秘书问题中著名的 37% 法则。
先把游戏规则说完整
这个结论讨论的，是经典秘书问题：[1]
- 候选总数事先已知，只能选一个。
- 候选有明确的优劣次序，没有并列；出现顺序是均匀随机的。
- 每次只能判断当前候选在已经见过的人中排第几。
- 接受就结束；拒绝后不能回头。
- 只有选中全体第一名才算成功，第二名和最后一名都记为失败。
这最后一条尤其重要。只要目标改成“前几名也满意”，或者允许回头再选，优化的就已经是另一个问题。
观察期，换来一把可以使用的标尺
- 先观察：跳过前面一段候选，记住其中最好的人。
- 再比较：继续逐个观察，遇到比之前所有人都好的人就接受。
- 结束选择：接受后停止；若直到最后仍无人超过标尺，也无法找回已拒绝的人。
假设前 37 个候选只用来观察，第 38 个开始进入选择期。这里的“第一个超过标尺”，指比所有已见过的候选都好，并不保证他是最后的全体第一名。
策略可能在两种情况下失败：真正最好的人已经出现在观察期；或者他尚未出现，你却先接受了一个刷新纪录、但最终排名较低的人。
用十个候选，把规则走一遍
为了看清每一步，构造一个十人例子。下表中的数字是事后才知道的最终名次，1 最好；作决定的人当时只能比较已经出现的候选，不能偷看后面的名次。先观察前三人，再接受后面第一个刷新纪录的人。
| 出现位置 | 事后知道的最终名次 | 当时能做的比较与决定 |
|---|---|---|
| 第 1～3 人 | 7、4、5 | 只观察、不选择；第二位候选暂时最好，成为标尺。 |
| 第 4～7 人 | 6、9、8、10 | 都不如已见过的第二位候选，继续等待。 |
| 第 8 人 | 1 | 比此前所有人都好，立即接受；这一次恰好选中全体第一名。 |
| 第 9～10 人 | 3、2 | 选择已经结束，后面的候选不会再改变决定。 |
同样的规则也可能失败。若观察期内已经出现全体第一名，后面便再也没有人能超过标尺；若选择期先出现一个刷新纪录的第二名，就会在第一名出现之前停止。知道规则最优，并不能让人提前识别这两种结局。
37%，来自两种风险的平衡
观察期太短，标尺可能过低，很容易提前停止。观察期太长，又会把更多真正的第一名挡在可选范围之外。
设前面跳过 r 人，总数为 N，成功概率可以写成：
P(r) = (r/N) × [1/r + 1/(r+1) + … + 1/(N−1)]
这个式子也可以按“第一名出现在哪个位置”来理解。假设第一名出现在第 k 位：它落在这个位置的概率是 1/N。为了等到它，前 k−1 人中的最好者必须位于最初跳过的 r 人里，概率为 r/(k−1)；否则，策略会更早接受一个刷新纪录的人。把 k=r+1 到 N 的这些成功情形相加，就得到上式。
如果反复随机打乱候选顺序、每次按同一规则选择，记录“选中全体第一名”的比例，就能画出观察期长度与成功率的关系。重复次数越多，频率通常越接近理论概率；模拟次数本身不会提高一次选择的胜算。
人数很多时，令观察比例 x=r/N，上式近似为 −x ln x。它在 x=1/e≈36.8% 附近达到最高点，成功概率也趋近约 36.8%。
有限人数需要选一个整数阈值。根据有限公式计算，100 人时跳过前 37 人，选中全体第一名的概率约为 37.10%；10 人时跳过前 3 人，概率约为 39.87%。因此，1/e 是大样本极限，不能要求每个规模都恰好等于同一个百分数。[2]
数学约束的是“选中第一名”的概率，没有给一个人的遗憾程度划出上限。未选中第一名，也未必意味着所得毫无价值。
把目标改成“平均选得更好”
经典问题把第二名也判为失败。另一种合理目标，是尽量降低最终所选候选的平均名次。
在保留随机顺序、只能观察相对名次和不能回头等条件时，最优规则会随阶段调整：开始时只接受当前最好的，后期逐渐允许当前第二、第三等候选。大样本下，最优期望名次趋近约 3.87。[2]
“平均名次约 3.87”不等于“每次保证选中前四名”。它把整个结果分布折算成了一个平均值，单次结果仍可能更差。
从数学模型回到实际选择
招聘、选房、求职或亲密关系，往往不知道未来有多少选项，候选也未必随机出现。人们可以获得绝对信息，改变标准，有时能够回头，还会遇到双向选择。这些条件都会改变答案。
例如，把 18～40 岁当作寻找期，计算 18+(40−18)×0.37≈26.1，并不能推出“26.1 岁最该作决定”：年龄长度不是已知数量、随机排列的候选序列。模型真正揭示的是一个可讨论的取舍：先花多少机会学习标准，再愿意为当下选项结束寻找。要讨论具体选择，需要先明确机会、信息和目标分别是什么。
寻找的阶段可以帮助人理解自己重视什么；决定的阶段则需要承担结束寻找的代价。用模型整理这种取舍，既能提醒自己适时行动，也能为已经认真作过的选择留一点余地：好的方法，仍然会遇到不如意的结果。