骰子还在桌面上滚动时，谁也不能靠一张概率表提前指定它朝上的点数。可换一个问题——哪种结果更常见，一场中断的比赛该怎样分钱——“不知道下一次”就不再等于“什么都算不了”。
古代的骰子、距骨形器具，既出现在游戏中，也曾与问卜相连。大英博物馆的一件可能属罗马时期的距骨形玻璃器，就被认为可能用于游戏或占问。[7] 把答案交给命运是一种态度；开始清点可能的结果，则慢慢长出了一门数学。
骰子都是六个面，组合却未必等可能
1494 年，帕乔利的《算术大全》记载了中断赌局的分配问题。一个常见版本是：先到60分者拿走奖励，甲已得50分、乙得20分，比赛突然停了。照已经拿到的分数分成5∶2，看起来很直观，却没有计算双方还剩多少胜算。[2]
先把这笔账留在桌上。16世纪的卡尔达诺尝试认真计算骰子游戏，把概率写成“有利情形数／全部等可能情形数”；他的《论赌博游戏》直到1663年才在身后出版。公式的要害，恰好在“等可能”三个字。
伽利略在17世纪初讨论过一个能骗过直觉的例子：三颗骰子点数和为9或10，各能列出六种不计顺序的组合，为什么10点更常出现？
给三颗骰子分别标上甲、乙、丙，它们就有216种等可能的有序结果。数字不同的1、2、6可以在三颗骰子间交换位置，形成6种结果；3、3、3却只有1种。把所有组合展开，差别就显出来了。
| 9点的组合 | 有序结果数 | 10点的组合 | 有序结果数 |
|---|---|---|---|
| 1、2、6 | 6 | 1、3、6 | 6 |
| 1、3、5 | 6 | 1、4、5 | 6 |
| 1、4、4 | 3 | 2、2、6 | 3 |
| 2、2、5 | 3 | 2、3、5 | 6 |
| 2、3、4 | 6 | 2、4、4 | 3 |
| 3、3、3 | 1 | 3、3、4 | 3 |
| 合计 | 25 | 合计 | 27 |
所以，9点的概率是25/216，约11.57%；10点是27/216，即12.5%。六种写法不等于六份相同的机会：最先需要数清楚的，是那些真正等可能的基本结果。
不到三个百分点，能改变一笔赌局
1654年前后，与德·梅雷骑士有关的两个问题，把“重复几次”也摆上了台面：一颗骰子掷4次，至少出现一次6；或者两颗骰子同掷24次，至少出现一次双6。
4/6与24/36相等，但它们算的是成功次数的期望，不能直接当成“至少一次成功”的概率。一次尝试中成功多次，与成功一次，已经被后者合在同一个事件里。
最省事的办法是从反面数：至少成功一次，等于排除一次也没有成功。
| 问题 | 一次也没成功 | 至少成功一次 |
|---|---|---|
| 一颗骰子掷4次，至少一次6 | (5/6)⁴ | 1−(5/6)⁴≈51.77% |
| 两颗骰子掷24次，至少一次双6 | (35/36)²⁴ | 1−(35/36)²⁴≈49.14% |
差距约2.63个百分点，一边略高于一半，一边略低于一半。若每次净赢和净输金额相同，这会让期望收益一正一负。但它不保证某一场必赢或必输；更换赔率，收益的计算也要跟着变。
分赌注，要数还没发生的未来
1654年，巴黎的帕斯卡与图卢兹的费马通过通信讨论赌局与分点问题。分配中断比赛的奖励，关键是把视线从已经发生的比分移到尚未发生的结果。[1]
回到50∶20、先到60分获胜的例子。假设每局10分，双方实力相同，每局独立。甲只差一局；乙必须连赢四局，期间甲只要赢过一次，比赛就结束。
把接下来的四局都写成甲胜或乙胜，共有16条等可能的完整序列。乙只有“乙、乙、乙、乙”这一条能赢，其余15条都使甲获胜。
有些序列实际会在中途结束，但可以在计算中给它们补上不影响已经确定的胜负的后续结果。这样才保留了等可能性，不能把“甲”“乙甲”“乙乙甲”等长度不同的结局列出来，再当作各占一份。
共同奖励应按15∶1分配，甲的份额为15/16、乙为1/16，而不是按旧比分5∶2。这道从1494年记载延伸到1654年通信的问题，把“公平”改写成了可以计算的未来权益。1657年，惠更斯的《论赌博中的计算》又把赌局中的公平价值与期望，整理成系统的数学讨论。
从赌桌走进一座城
1662年，格朗特的《关于死亡公报的自然与政治观察》把目光转向伦敦的洗礼与埋葬记录。很难预言某一个人的生死，不妨先看群体中实际留下了哪些数字。
在原著第VIII章所说的1628年到1662年之前的记录中，男性受洗139,782人，女性130,866人。两者约为1.068∶1；这里数的是当时的受洗记录，不是一次现代意义上的完整出生普查。[3]
人口规模、记录范围和社会环境都需要考虑。但把许多个人放进同一张统计表，确实能提出单靠一个故事不容易回答的问题：男女记录的比例是否反复出现相近的结构，不同年龄、不同地区又会怎样变化？
“某个人下一刻怎样”与“一群人的数据呈现什么规律”，从此更清楚地分成了两类问题。
抽得足够多，“几乎确定”是什么意思
在1713年身后出版的《猜度术》中，雅各布·伯努利讨论了用重复试验逼近真实概率。设一个坛子装着3000颗白石、2000颗黑石，每次均匀抽一颗并放回，白石概率就是3/5。
只抽17次，假如出现12颗白石，频率约0.706，并不必等于0.6。继续抽，比例仍会来回波动；大数定律说的是，在相应独立重复条件下，频率显著偏离真实概率的机会会随样本增多而减小，不是每增加一次都离真相更近。
常被提到的25,550次，也有具体的精度与把握要求。伯努利的例题取p＝3/5，希望样本频率落在29/50与31/50之间，也就是误差不超过0.02；其估计给出足以达到超过1000∶1把握的一个次数界限。它不是所有问题通用的门槛，更不是说这一次抽完就必然恰好得到0.600。[2]
1733年，棣莫弗研究二项展开中的大量项，发展出后来的正态近似。把公平硬币同时抛4枚、32枚、128枚，正面次数都围绕各自的中间值分布；经过适当的标准化，越来越能看出熟悉的钟形结构。把次数增加，与把某一枚硬币的结果变得可预测，仍是不同的事。
随机撒一把针，为什么能算π
布丰在1733年提出过相关几何概率问题，并在1777年的《道德算术试验》中作了更充分讨论。设地板上有间距d的平行线，投下一根长度L不超过d的针；针的朝向均匀、位置也按相应模型均匀分布。[4]
针是否跨线，由两件事共同决定：中点离最近那条线多远，以及针有多倾斜。把这些可能的位置与角度合起来，可得到跨线概率：
P(跨线)＝2L／(πd)
若L恰好等于d，就有P＝2/π。投N次，有K次跨线，便可用2N/K估计π。例如，若一组记录为N＝196、K＝125，算出来就是3.136。
这里从频率回到了一个几何常数。针长、线距、取向与投放方式都是条件；不是任何一把随手扔下的针，都自动给出同样可靠的π估计。
钟形曲线，不需要小球事先商量
1814年，拉普拉斯在《关于概率的哲学随笔》中，把概率论看作把常识整理成计算的工具。此前那些看似零散的赌局、人口数字与重复试验，已经可以放进更系统的理论里讨论。
高尔顿的钉板，则把分布做成了眼睛能跟上的过程。他在1873至1874年冬委托制作这种装置，后来在1877年的演讲中用它说明遗传变异与回归。[8] 理想模型中，小球每碰到一层钉子，就以相同机会向左或向右偏转。落到中央附近有许多条路径；一路偏向同一侧、落到边缘的路径很少。球越来越多，中间高、两边低的堆积就显现出来。[5]
在1889年的《自然遗传》中，高尔顿曾以近乎惊叹的文字赞美误差分布的规律：大量偶然之中，居然可以出现安静而稳定的形式。这个感叹不等于所有数据都必须服从正态分布；相同概率、独立性、许多小因素的累积等条件，决定了近似什么时候好用。
给所有这些计算，一个共同底座
1933年，柯尔莫哥洛夫的《概率论基础》把概率放进严格的公理化框架。[6] 用今天常见的表述，可以把基本要求概括为：
- 为规定好的事件赋予非负概率。
- 全部可能结果构成的样本空间Ω，概率为1。
- 对互不相容的一列事件，有限或可数个事件合在一起的概率，等于各自概率之和。
第三条也把最开始的骰子问题接了回来。可以直接相加的，是互不相容的情形；“第一次掷出6”和“第二次掷出6”能够同时发生，所以不能靠4/6计算四次里至少一次6。
概率论没有替下一颗骰子预选答案。它做的是把可能结果、各自份额和计算条件说清楚：一次落点仍然偶然，许多落点组成的结构，却开始有了可以辨认的形状。