有一件事，做一次成功的机会只有1%。第一回没成，再来一次，还是没成。到了第十次，很容易冒出一个念头：是不是根本没有希望？
先把这个问题变成一个可以算清楚的小实验。每次只有成功、失败两种结果；每次成功率都为1%；各次结果相互独立。就像每次都重新从同样的100张签里抽一张，其中只有一张中奖，抽完放回再来。
这三个条件缺一不可。 只要它们成立，“多试几次”确实会提高至少遇到一次成功的机会，但不会让失败攒成下一次必中。[1][2]
不数成功，先数“全部失败”
一次失败的概率是99%，即0.99。连续两次都失败，因为独立，可以相乘：0.99×0.99。连续n次全部失败，就是0.99的n次方。
“至少成功一次”的反面，恰好是“一次都没成功”。所以只要从1里面减去全部失败的概率：
至少成功一次的概率 = 1 − (1 − p)^n
当p=0.01时，就是1 − 0.99^n。符号^n表示n次方，n是总共计划尝试的次数。“至少一次”包括恰好一次，也包括两次、三次等更多成功，并不要求最后一次才成功。
100次为什么只有63.4%
“每次1%，做100次，总该是100%。”这句话把许多可以重叠的成功事件直接加起来了。100次里可能成功不止一次，也可能一次都没有，不能用1%×100替代“至少一次”。
| 总尝试次数 | 至少成功一次 | 仍然全部失败 |
|---|---|---|
| 1 | 1.0% | 99.0% |
| 10 | 9.6% | 90.4% |
| 50 | 39.5% | 60.5% |
| 100 | 63.4% | 36.6% |
| 230 | 90.1% | 9.9% |
| 459 | 约99.0% | 约1.0% |
| 1000 | 约99.996% | 约0.004% |
从10次增加到459次，累计机会可以从约9.6%升到约99.0%。这并不是第459次的签突然更好，而是整段计划包含了更多获得成功的机会。
同样，平均成功次数np，在100次时等于1，也不代表每个人都恰好成功一次。把许多人各自的100次试验汇总，成功次数的平均值与“每个人一定得到一个”完全不同。[1]
已经失败99次，下一次是多少
仍然是1%。
这不是和63.4%矛盾。站在第一回开始之前，问“接下来100次至少成功一次吗”，答案约63.4%。已经知道前99次全失败以后，问“剩下这一回成吗”，只剩一个独立的1%机会。
过去的失败没有让签筒欠下一张中奖签。若它真是每次独立、概率固定的抽签，就不会因为“我已经等了很久”而补偿谁。
曲线也不是每多一次就上升相同高度。累计机会从n次增加到n+1次，多出的部分为p(1−p)^n：先前全部失败、这次终于成功。它一直是正数，却会逐渐变小。重复的确增加覆盖到成功的机会，同时存在边际收益的变化。
无限接近100%，不等于有限次数保证成功
只要0<p<1，次数越来越多时，(1−p)^n会趋近0，累计机会便趋近1。这是一个极限结论。
但对任何有限的n，全部失败的概率仍大于0。约99%也允许约1%的计划仍然落空。人拥有的时间、金钱和精力都是有限的，不能把“无限次的极限”当成“只要坚持就一定会在某个承受得起的期限里成功”。
还要检查p本身：如果方法使成功率实际上为0，重复不会把它变成正数；如果每次并不独立，上面的公式也不能照搬。
水滴石穿，和抽签不是同一种重复
一滴水没有穿过石头，下一滴仍会继续。这个情景很适合表现坚持，但实际的侵蚀会改变石头：先前的作用可能累积，后来的条件也随之变化。它并不是一张“石头状态永远不变、每滴独立有1%穿透率”的物理试验。
《鹤林玉露》里的“绳锯木断，水滴石穿”，出现在张乖崖惩治库吏的记事中，以日积月累说明小事不能轻忽。它可以帮助记住累积的力量，不能作为古人已经推导了伯努利试验公式的证据。[3]
日常生活里的重复也常常会改变条件。求职中，修改作品与选择匹配岗位，可能改变下一次的成功率；学习中，得到反馈并修正错误，可能改变能力；创业中，市场、资源和机会又彼此关联。它们可以受这个模型启发，却不是天然独立、恒定1%的抽签。
因此，继续尝试时值得同时做两件事：增加合适的机会，也检查方法与反馈。只增加次数，却把无效的步骤原封不动复制，并不是这条公式给出的建议。
“再试一次”的准确含义
在模型里，一次失败并没有证明未来全是失败；增加独立机会，确实能让“至少一次成功”更有可能。对照10次和459次，便能直观看见次数的分量。
但模型没有告诉人忽略代价，也没有替现实测定一个1%。做决定时，还要问：成功怎样定义，下一次有没有新的信息，成本能承受到哪里，哪些条件已经变化？
“下一次也许就是那1%”可以保留为一种希望。理解概率后，这句话便不必依靠“运气迟早会补偿我”：下一次有自己的机会，过去的失败不欠未来一场胜利。