电压是两点之间的电势差，电流是电荷的流动速率。分析电路先选参考地、标出电压极性与电流方向，再列方程；计算结果为负通常表示实际方向相反，不必先改图。
从节点方程求分压
理想电压源 Vin 经 R1 接输出节点，R2 从节点接地。输出端暂时没有其他负载。按流出节点为正列 KCL：
(Vout - Vin) / R1 + Vout / R2 = 0
Vout = Vin × R2 / (R1 + R2)
Vin=5 V、R1=10 kΩ、R2=20 kΩ 时，空载输出为 3.333 V。若再接入 100 kΩ 的负载，负载与 R2 并联，等效下臂变成 16.667 kΩ，输出降到 3.125 V。分压器的输出会随负载变化，不能直接当成稳压电源。
用戴维南等效重新看这件事：原网络等效成 3.333 V 的理想源，串联 R1 || R2 = 6.667 kΩ。这个输出阻抗决定了负载造成的压降。节点法适合复杂网络，等效法适合解释负载为什么改变读数；两种方法应得出相同结果。
电容为什么让电压变化变慢
理想电容满足 i = C × dV/dt。恒定电源经电阻 R 给初始电压为零的电容充电时：
τ = R × C
Vc(t) = Vin × (1 - exp(-t / τ))
fc = 1 / (2πRC)
R=10 kΩ、C=100 nF，对应 τ=1 ms、低通截止频率约 159.15 Hz。经过一个时间常数，电容电压到达最终值的约 63.2%；五个时间常数约为 99.3%。截止频率处幅度约为通带的 0.707 倍，而不是突然停止传输。
电阻功耗用 P=I²R 或 P=V²/R 核对。电容还要检查耐压、直流偏压引起的容量变化和漏电。电阻、电容的名义值只给出计算起点，容差分析决定边界。
可复现计算
下载 电路计算脚本，在 Python 3.11 或更新版本运行：
python circuit.py
脚本核对带载分压、戴维南等效、RC 响应及电阻容差角点。预期看到 loaded=3.125000 V、tau=1.000 ms 与 PASS。这是理想元件的数学计算，未连接真实电路，也没有考虑布线寄生或仪器输入阻抗。
实物练习使用低压直流电源，在断电时接线，依次测空载和接入负载后的节点电压。记录电源实际电压、万用表输入阻抗与元件实测值，再比较理论值。测 RC 阶跃时同时记录探头倍率、采样率和触发条件，避免把仪器设置差异当成电路变化。
练习与检查
- 保持空载输出约 3.333 V，把 R1、R2 同时扩大十倍。解释静态电流、负载误差与 RC 建立时间怎样变化。
- 对 ±1% 的 R1、R2，分别寻找输出最大和最小的组合。不能把两个电阻同时加 1% 当成最坏情况。
- 给电容设置非零初始电压，推导通式
Vc(t)=Vfinal+(Vinitial-Vfinal)exp(-t/τ)，核对 t=0 和 t→∞。
面试自查：KCL 与 KVL 分别来自什么守恒关系？分压电阻选得很大有什么代价？RC 时间常数与截止频率有什么联系？用公式、边界条件和具体数值一起回答。