动力学与反馈控制：PID、LQR和MPC

运动学回答机器人怎么动，动力学回答产生这种运动需要多少力。机械臂常用的模型写作 M(q) q_ddot + C(q,q_dot) q_dot + g(q) = tau + tau_ext。质量矩阵、速度相关项、重力、摩擦和外力共同决定响应；把关节目标角直接当作力矩发送，会跨过必要的控制接口。

从质量块开始

一维模型为 m x_ddot = u - b x_dot + d，其中 u 是控制力，d 是未知外扰。位置目标为 1 米。PD 控制取 u = Kp(1-x) - Kd x_dot；比例项拉向目标，阻尼项抑制速度。对于固定外扰，PD 的静态误差通常不会自动消失。PID 增加误差积分，但执行器饱和时，积分可能持续累积，造成恢复缓慢和大幅过冲。

抗积分饱和可采用条件积分或反算。测量噪声会被直接微分放大，实际实现常对速度估计或微分项滤波。滤波也引入相位滞后，不能无限加重。

离散控制还受采样周期影响。控制循环的 dt 必须与模型、积分器和实际测时一致。若循环偶尔延迟十倍，只把频率配置写成“100 Hz”无法保证稳定性。

LQR与MPC各解决什么

对线性离散系统 s_next = A s + B u，LQR在给定状态代价 Q 和输入代价 R 下求反馈 u = -K s。目标附近可以对非线性系统做线性化；离开局部范围后，需要重新检查模型是否仍适用。无积分状态的普通LQR同样可能存在恒定扰动下的静差。理论中的无约束最优解再被限幅，不会保留原来的最优性结论。

MPC反复预测有限未来，把位置、速度、力矩等约束写入优化，只执行当前一小段，再用新状态重新求解。它需要可在控制周期内完成的求解器，也需要不可行或超时的处理。增加预测长度可能改善前瞻性，同时增加求解成本。它不会自动修正错误模型。MIT的LQR章节与轨迹优化章节提供推导和实现背景。

实际运行的对照实验

control_lab.py需要NumPy，模拟 m=1 kg、b=0.2 N·s/m，采样周期0.01秒、输入限幅±2牛；5秒后加入0.3牛恒定扰动。PD与PID共用位置及速度增益，LQR使用另一套明示的代价，因此这个实验用于解释现象，不用于排名算法。

python control_lab.py

2026-10-24以Python 3.12.14、NumPy 2.3.5执行20秒数值仿真，结果如下，完整参数与输出见检查记录。

PID在这里减小静差，同时超调较大。这说明需要联合看跟踪误差、超调、输入、饱和时间和扰动恢复，不能用单个末端误差代表控制质量。

检查理解

把质量改成2千克而保持控制器参数，记录响应变化；再把采样周期调大，说明离散模型和积分步骤为何也要一起修改。尝试去掉抗饱和条件，比较恢复时间。

面试自查：前馈与反馈如何配合？LQR中的最优取决于哪些假设？MPC超时时上一条命令能否继续用，取决于哪些有效期与制动约束？真机控制参数必须按实际设备验证，本页数值参数不能直接用于真实执行器。