相机说物体在前方一米，底盘说自己转过九十度，机械臂却需要相对基座的抓取位置。它们描述的是同一个物理世界，但数字属于不同坐标系。机器人程序中的每个位置、速度和力都应能回答：相对谁、在哪个坐标系表达、对应什么时刻、单位是什么。

给变换规定方向

本文用 T_ab 表示“把 b 系坐标变成 a 系坐标”的刚体变换。它同时包含旋转 R_ab 和 b 系原点在 a 系中的位置 t_ab：

p_a = R_ab · p_b + t_ab

T_ab = [ R_ab  t_ab ]
       [ 0 0 0   1  ]

T_ac = T_ab · T_bc
T_ba = [ R_abᵀ  -R_abᵀ·t_ab ]
       [ 0 0 0        1      ]

下标相消帮助检查乘法顺序。不能把 T_ab · T_cb 当成合法的坐标链。齐次点的第四维为 1，方向向量的第四维为 0，因此平移会影响点，不会影响纯方向。

二维例子：机器人位于世界系 (2, 1) 米，朝向为逆时针九十度。机身系中的点 (1, 0) 先旋转成 (0, 1)，再平移，得到世界系 (2, 2)。若相机还在机身前方 0.2 米，应继续乘相机到机身的变换，不能直接给世界坐标的 x 加 0.2。

三维旋转矩阵满足 RᵀR = I、det(R) = 1。SE(3) 是三维刚体变换的集合；旋转和平移可组合，但变换通常不能交换顺序。推导和示例见 Modern Robotics 的齐次变换章节。

怎样选择旋转表示

欧拉角容易读，但顺序必须写清楚，还存在表示奇异性。单位四元数适合组合与插值，不过 q 和 -q 表示同一旋转，分量顺序也有 xyzw、wxyz 两种常见约定。旋转向量适合局部小误差和优化；其长度是旋转角，方向是旋转轴。不要把欧拉角的三个分量分别线性插值后，就认为得到了固定角速度的旋转。

同一条数据链可以用矩阵计算、用四元数存储、用角度给人看；转换边界需要统一测试。位置常用米、角度计算用弧度，显示时再转换为度。相机光学坐标与底盘坐标的轴向可能不同，要以设备和接口文档为准。

三个便宜但有效的检查

  1. 检查 T_ab · T_ba 是否接近单位阵，而非只观察可视化是否“差不多”。
  2. 用原点、各坐标轴上的单位点测试变换方向。例如相机正前方的点是否落在机器人预期的前方。
  3. 做带数值的闭环：相机点转世界、再转回相机，应恢复原坐标。误差容限应依据浮点精度与标定误差分别制定。

“地图里的物体跟着机器人移动”常见于变换方向写反、固定外参被当成动态位姿，或把旧时刻的传感器数据配上当前位姿。矩阵正确并不能弥补时间不一致，后者见传感器标定与时间同步。

面试自查与练习

能否解释左乘与右乘为什么不同？为什么变换的逆矩阵不能只把平移取负？四元数分量接近不代表旋转距离一定接近，原因是什么？

手算上面的二维例子，再给机器人增加一个机身系中的 (0.2, 0) 平移。分别计算“先转后平移”和“先平移后转”，注明每个平移量所属的坐标系。答案若不同，应能指出差异来自坐标约定，而不是浮点误差。