一颗珠为什么能算五：七珠与五珠算盘怎样记数

桌上一把算盘，一档只有几颗珠子，却能表示成千上万。秘密不在于它藏了多少颗珠，而在于每颗珠的位置与约定。

横梁上方的一颗珠能算五，下方的一颗只算一。同样的珠子换到另一档，又会变成十、百或千的一部分。算盘把数字拆成可以看见、可以移动的状态。

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数的不是全部珠子，而是拨向横梁的珠子

算盘中间的横梁，把一档分成上下两部分。记数时看的是拨向、靠近横梁的有效算珠，而不是这一档总共装了几颗。

在常见的七珠算盘上，下方每颗算一，上方每颗算五。两颗下珠靠梁，表示二；一颗上珠加两颗下珠靠梁，就是五加二，表示七。离梁的珠子为接下来的操作留下空间。^[1]

归零时，上珠向上离梁，下珠向下离梁。看到一整档珠子都在框里，并不意味着它已经记了十五。

一档是七，换个位置就是七十

先指定一档作为个位，在通常的十进制记数中，向左依次是十位、百位、千位。相同的珠形，放在不同档位，就乘上不同的位值。

例如3567，可以拆开读：

把四档合起来，才是三千五百六十七。个位也不一定永远是最右一档：计算的范围、小数的安排和使用约定，都可以影响怎样指定位置。

上二下五，为什么会留出十五

如果一档的两颗上珠、五颗下珠都计入，得到的是2×5+5=15。这个范围比十进制一位需要的0到9更大。

旧制中，一斤曾等于十六两，所以半斤正好是八两。“半斤八两”的说法，保留着这种换算的痕迹。^[2]

在明确采用十六进制的记数约定时，一档能容纳0到15，满十六再向左进一，七珠结构因此能处理相应计算。但若仍按前面的个位、十位、百位来读，就不能突然把左边一档改当十六；珠子的容量，与各档约定的进位规则，是两件事。

十六两制能说明七珠结构的一项用途，却不能单凭这个用途，就断言算盘的全部形制只由它一个原因造成。额外算珠还可用于某些乘除算法的中间操作。^[1]

十进制常用数字，五颗珠也装得下

如果每档保留一颗上珠和四颗下珠，就能直接表示0到9：下珠给出0到4，再加一颗上珠的五，得到5到9。满十时向左进位，不需要在本档长期保留一个“十”。

这就是常见五珠算盘上一下四的基本思路。它减少了日常十进制记数不必常用的额外珠子，并不意味着七珠算盘从此不能计算十进制，也不意味着所有旧算法都可以不加调整地照搬。

实物的珠形也有差别，较圆的珠与棱形珠，在指尖接触、上下拨动时的手感不同。结构、珠形、手指方法和熟练程度会一起影响操作，不能只看换了一个形状，就给出人人适用的速度倍数。

加到下一颗珠放不下时，动作就变了

从零开始，依次加1、2、3，一直加到9，算盘上的总数会经过：

0 → 1 → 3 → 6 → 10 → 15 → 21 → 28 → 36 → 45。

前几步还能逐颗拨入，后来便要利用等值交换。例如3加3得到6，可以把原来的三颗下珠改成“一颗上珠加一颗下珠”；6加4到10，要把这一档清回零，再给十位进一。

到了28加8，可以把8看成“再进一个十、同时减二”，得到36；36加9则可以“进十、减一”，得到45。口诀把这些数值关系压缩成动作提示，但算式本身并没有换成另一套数学。

单手、双手都能组织这样的拨珠过程。实际示范里动作很快，背后却始终是位值、补数和进位的配合；不能把某一段熟练演示当作两种算盘速度的受控对比实验。^[3]

看懂以后，一把算盘可以同时呈现两层东西：木框和珠子提供空间，记数与运算规则决定这些位置意味着什么。珠子不必很多，规则却要先说清楚。